Фамилия Негольшов — редкий пример, где трудность вызывает уже чтение. Ударение, скорее всего, на втором слоге: Негóльшов. Основа «Негольш» здесь — не что иное, как фонетическая переделка крестильного имени Николай.

В народной речи имя Николай звучало как Миколай, Никула, а в южных и западных говорах — как Неголь. Произносили «неголь» вместо «николь»: звук «к» перед гласным «о» мог перейти в «г» (явление, похожее на «Господь» из «Осподь»). Суффикс «-ш-» в таких именах — типичный признак краткой, обиходной формы: «Неголь» + «ш» даёт «Негольш», то есть «Негольша» — человек по имени Неголь. А «Негольшов» — буквально «сын Негольши» или «из рода Негольша».

Фамилия сформировалась по стандартной восточнославянской модели: к основе на шипящий («-ш») добавили суффикс «-ов». Такие фамилии массово возникали в XV–XVII веках, когда крестьян и посадских людей записывали по отцу: «Иван Негольш» → «Иван Негольшов сын».

Встречается фамилия преимущественно в регионах, где исторически были сильны южнорусские говоры: Курская, Орловская, Воронежская, а также в Поволжье (Самарская, Саратовская области) — туда переселялись крестьяне из чернозёмных губерний. В дореволюционных метрических книгах фигурирует написание «Негольшев» (через «е» на конце основы) — это вариант, возникший из-за того, что в безударном положении «о» и «е» звучали одинаково. Позднее написание закрепилось с «о».

Иногда основу «неголь» пытаются связать с прилагательным «негольный» (то есть «нежный, изнеженный») или диалектным глаголом «неголить» (ходить босиком, нежиться). Но эти версии слабее: прозвище Неголь в значении «неженка» встречается в источниках редко и почти не дало фамилий. Гораздо надёжнее церковное имя Николай, которое в народе перекроили до неузнаваемости.

Таким образом, ваш предок по мужской линии, скорее всего, носил имя Негольша — простонародную форму Николая, и фамилия закрепилась за его потомками в центрально-чернозёмной полосе России.