Фамилия Нерогкен — редкая и не сразу читаемая. Первая реакция: опечатка или иноязычное заимствование. Но если присмотреться, за ней стоит вполне русская словообразовательная модель, хотя и с неожиданным поворотом.

Скорее всего, основа здесь — нерог-, а суффикс -кен. Это нестандартный вариант фамилий на -кин (чьи? — нерогкин). В русских говорах, особенно северных и сибирских, а также в польском и украинском влиянии, суффикс -кен встречается как диалектная или фамильярная форма: вместо «Ивашкин» — «Ивашкен», вместо «Нерогкин» — «Нерогкен». Такая замена могла закрепиться при переписи или в документах, когда писарь записывал фамилию на слух, не сверяясь с нормой.

Корень нерог- прямо отсылает к слову нерог — в древнерусском и диалектах так называли неродивого, нерадивого человека, ленивого или бестолкового. Сравните: «нерожай» (неурожай), «нерод» (плохой род). Прозвище Нерог давали человеку, который не оправдывал ожиданий: нерадивый работник, неудачливый хозяин. От него и пошла фамилия Нерогкин — и её усечённый вариант Нерогкен.

Вторая, менее вероятная версия — связь с тюркским или финно-угорским корнем. В языках Поволжья есть слова, звучащие как «нергек» или «нерок» (например, в марийском — «нерге»: нос, клюв). Но для русского уха это звучит натянуто, и фамилия Нерогкен не фиксируется в татарских или марийских списках. Поэтому версия с прозвищем Нерог остаётся основной.

Географически фамилия тяготеет к северо-западу России: единичные носители встречаются в Вологодской, Архангельской областях и в бывших польских губерниях (Гродненская, Витебская). Там как раз была распространена модель на -кен вместо -кин. Сословно — почти наверняка крестьяне или мещане; в дворянских родословных книгах Нерогкенов нет.

Итог: фамилия Нерогкен — это диалектный вариант отчества от прозвища Нерог (нерадивый человек). Редкая форма на -кен выдаёт региональное произношение или ошибку писаря. Если ваш предок носил такую фамилию, он, скорее всего, жил на севере или западе России и получил прозвище за нерасторопность — или за то, что его так дразнили соседи.