Фамилия Незвещук — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, образовано не от профессии или внешности, а от глагольной формы с отрицанием. Разбираем её по косточкам.

Корень здесь — «звещ-», что в украинских и белорусских говорах означает «вещать», «говорить», «сообщать». В диалектах встречается и слово «звіщати» — извещать, предупреждать. Приставка «не-» даёт значение «не вещающий», «не извещающий». Получается, Незвещук — это потомок человека, которого прозвали Незвещ (или Незвещук сразу): молчун, тот, кто не любит лишних разговоров, или же, напротив, тот, кто не предупредил, не сказал вовремя. Второй оттенок мог закрепиться за человеком скрытным или необязательным на слово.

Суффикс «-ук» — типичный для западноукраинских и юго-западных белорусских земель (Волынь, Полесье, Галиция). Он образует фамилии по модели «сын такого-то» или «мастер, связанный с чем-то». В данном случае — «сын Незвеща» или просто «маленький Незвещ». Важно, что в этой модели ударение почти всегда на последний слог: Незвещу́к.

У фамилии нет стандартного «дворянского» варианта на -ов или -ский, что указывает на крестьянское или мещанское происхождение. Носители фамилии — выходцы из сельской среды Западной Украины или юга Беларуси, где подобные прозвища фиксировались в метриках XVIII–XIX веков. Сравните с однокоренными: Звещук (без отрицания — «говорун»), а также Извещук, Повіщук — все они из одного гнезда, связанного с речью.

Встречается вариант написания Низвещук — через «и» в первом слоге, что отражает местное аканье или просто небрежность писаря. Но этимологически верно именно через «е», от «не звіщати».