Фамилия Норвейшис — почти наверняка литовского происхождения. Об этом говорит характерный суффикс -иш-и-с (в оригинале -iškis или -išius), который в литовской ономастике образует фамилии от названий местностей или прозвищ. Если отбросить окончание -ис (типичный литовский показатель мужского рода в именительном падеже), остается основа Норвейш-. Она напрямую восходит к литовскому слову norvegas — «норвежец». Таким образом, Норвейшис — это этническое прозвище, которое давали человеку, имевшему отношение к Норвегии: либо выходцу оттуда, либо тому, кто долго там жил или торговал с норвежцами.

В литовской традиции такие фамилии на -ишк-ис (-iškis) или -иш-юс (-išius) часто указывали на «человека из» какого-то места или народа. Например, фамилии Ленкявичюс (от lenkas — поляк), Вокетишкис (от vokietis — немец) построены по той же модели. Норвейшис — более редкий вариант, поскольку контакты с Норвегией у жителей Великого княжества Литовского были не такими массовыми, как с соседними Польшей или Пруссией. Вероятнее всего, предок носителя этой фамилии был либо купцом, ходившим в Норвегию, либо наемником или моряком, побывавшим в Скандинавии, и получил это прозвище в своей литовской или белорусской деревне.

Встречается фамилия в основном на территории современной Литвы и в прилегающих районах Беларуси, где исторически было сильное литовское влияние. Из-за редкости корня фамилия почти не имеет вариантов написания, хотя в старых польскоязычных метриках могла записываться как Norwejszys. Сословной привязки у Норвейшисов нет — этнические прозвища встречались и у крестьян, и у мелкой шляхты, но в данном случае, судя по окончанию, это скорее крестьянская или мещанская фамилия, характерная для простонародья.