Фамилия Обажаев — редкая и с точки зрения словообразования, и по географии. Её основа — прозвище Обажай. Здесь сразу две загадки: что значит корень и почему суффикс не типичный для русской модели.

Начнём с суффикса. Фамилии на -аев в русском языке обычно образуются от имён или прозвищ на -ай (Кудряй — Кудряев, Малый — Малаев). Но Обажаев — не исключение: прозвище Обажай (или Обажа) — это основа, к которой добавили стандартный патронимический суффикс -ев. Такая модель характерна для южнорусских и украинских земель, где фамилии часто фиксировали прозвище отца в форме родительного падежа: «чей сын? — Обажаев». Если бы фамилия возникла в северных или центральных областях, скорее был бы суффикс -ов (Обажов). Так что географически предки Обажаевых, вероятно, жили на юге России, в Поволжье или в украинских губерниях.

Теперь о корне. Прямого значения у слова «обажай» в современных словарях нет. Вероятнее всего, это диалектное или профессиональное прозвище. Одна из версий: от глагола «обажать» в значении «ухаживать, заботиться, обхаживать». В некоторых говорах «обажать» означало «обхаживать, угождать, лебезить», а также «ласкать, нежить». Прозвище Обажай мог получить человек ласковый, заботливый или, наоборот, льстивый, угодливый — в зависимости от того, с какой интонацией его давали.

Другая, менее вероятная, но возможная версия: искажённое тюркское имя или прозвище. Фамилии на -аев встречаются и у тюркских народов (например, татар, башкир), где суффикс -аев — патронимический, а основа может быть от личного имени. Но здесь корень «обаж» не похож на распространённые тюркские антропонимы. Скорее всего, это русское диалектное слово.

Социальный контекст: фамилия недворянская. Обажаевы, скорее всего, были крестьянами или мещанами. В XIX веке такая фамилия могла закрепиться за одной семьёй в конкретном селе, а не быть массовой.

В итоге: фамилия Обажаев — южнорусская или украинская по происхождению, образована от прозвища Обажай, которое, по всей видимости, дали человеку за его манеру обхождения — заботливому, ласковому или, наоборот, льстивому. Точную этимологию без архивных записей установить сложно, но диалектная версия выглядит убедительнее тюркской.