Фамилия Одобецкая — редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает все остальные версии. Это типичная «топонимическая» фамилия, образованная по модели, хорошо знакомой носителям фамилий на -ский/-цкий: ее давали человеку, который был родом из места с названием Одобец или Одобы.

Само название Одобец, скорее всего, восходит к старому славянскому слову «одоба» — так в некоторых говорах называли прибыль, выгоду, а также угодье или участок земли, приносящий доход. В польском языке odoba означает «украшение», что тоже могло стать основой для прозвища владельца или названия хутора. Но в данном случае первично именно название населенного пункта: такой топоним реально существовал на территории бывшей Речи Посполитой (современные Беларусь и Польша). Фамилия Одобецкий/Одобецкая — это ответ на вопрос «откуда?», а не «чей?» или «какой?».

Суффикс -ецкий (а не -овский) указывает на западнорусское или польско-литовское происхождение. В русской традиции фамилии с таким окончанием чаще встречались у шляхты и духовенства, но это не значит, что все Одобецкие — дворяне. На землях бывшего Великого княжества Литовского топонимические фамилии на -ский мог получить любой крестьянин, переселившийся из деревни в другое место: помещик или писарь записывал его «из Одобца» как «Одобецкий».

Интересная деталь: в отличие от массовых фамилий вроде Иванов или Смирнов, Одобецкая почти не встречается в центральной России. Ее концентрация — западные области, граница с Беларусью, а также потомки эмигрантов первой волны. Если вы встретили эту фамилию, велика вероятность, что корни ведут в Могилевскую или Гродненскую губернию, где до сих пор есть урочища с похожими названиями.

Других версий, по сути, нет. Связывать Одобецкую с «одобрять» лингвистически неверно: глагол «одобрить» имеет другой корень (добр-), и суффикс -ецк- к нему не присоединяется. Так что ответ прост: предки носительницы этой фамилии когда-то жили в местечке Одобец, а сама фамилия — словно географическая метка, сохранившая название исчезнувшего или забытого хутора.