Фамилия Одожая — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. В русской ономастике фамилии на -ая почти всегда имеют географическую природу: они образованы от названий рек, городов или урочищ. Одожая — скорее всего, прилагательное, перешедшее в фамилию без изменений, по модели «Белая», «Толстая», «Долгая». Но что стоит за основой «Одож-»?

Наиболее правдоподобная версия связывает фамилию с гидронимом. В бассейне Днепра есть река Одожа, упоминающаяся в исторических документах. Если предки жили на её берегах, их могли прозвать «одожскими», а в быту закрепилась краткая форма «Одожая» — то есть «живущая на Одоже». Такая модель типична для северных и центральных областей России, где фамилии часто давались по месту жительства, а не по имени отца.

Вторая гипотеза, менее вероятная, но возможная: основа восходит к диалектному слову «одожь» — так в некоторых говорах называли дождь с ветром, ненастье. В этом случае прозвище Одожа мог получить человек, родившийся в непогоду, или тот, кто отличался хмурым, «дождливым» нравом. Однако фамилии от метеоявлений обычно оформляются через суффиксы (Дождев, Ветров), а окончание -ая здесь выглядит чужеродным.

География бытования фамилии узкая: единичные носители встречаются в Смоленской и Брянской областях — как раз на территориях, прилегающих к бассейну Днепра. Это косвенно подтверждает первую версию. Сословной привязки нет: Одожая могла возникнуть и в крестьянской среде, и среди однодворцев, но в дворянские родословные книги она не попала — фамилия слишком локальная и малочисленная.

Словообразовательный нюанс: в русских фамилиях на -ая ударение обычно падает на последний слог (Крива́я, Пуста́я), но в Одожая, судя по произношению носителей, ударение держится на втором слоге — Одожа́я. Это сближает её с украинскими фамилиями-прилагательными, где ударение подвижное, и намекает на возможное западнорусское или белорусское происхождение.