Фамилия Отмутская звучит редко, и её происхождение — неочевидная задача, которая требует внимания к суффиксу и основе. Суффикс -ск- указывает на географическое или топонимическое происхождение: такие фамилии обычно получали выходцы из какого-то места, а не по прозвищу или профессии. Основа «Отмут» вряд ли связана с глаголом «отмутить» (в смысле «размешать» или сленговом «устроить»), потому что для XV–XVII веков, когда формировалась масса русских фамилий, это слово имело другое значение.

Вероятнее всего, «Отмут» — это название населённого пункта или урочища. В русских говорах «мут» или «муть» означало «мутная вода», «топь», «зыбкое место». Приставка «от-» могла указывать на удалённость (например, «отдалённое от мутного места»). Отмутская — это «та, что родом из Отмута» или «из Отмуток». Похожие топонимы встречаются на севере и в центральной России: деревни с названием Отмут, Отмутово или Отмутская есть, например, в бывших Вологодской и Костромской губерниях. Фамилия могла закрепиться за крестьянами или однодворцами, которые переселялись и получали прозвание по прежнему месту жительства.

Менее правдоподобная, но возможная версия — связь с древнерусским именем или прозвищем Отмут, которое давали человеку с неспокойным, «мутным» характером. Однако суффикс -ский в этом случае был бы нетипичен: прозвищные фамилии чаще образуются с -ов/-ев или -ин. Поэтому топонимическое объяснение надёжнее.

Стоит отметить, что фамилия Отмутская — женская форма. Мужской вариант — Отмутский. Встречается она преимущественно на северо-западе России, особенно в Ленинградской и Псковской областях, что косвенно подтверждает связь с местными гидронимами (озёрами, болотами). В дореволюционных метрических книгах её фиксируют редко, что говорит о малочисленности рода.

Если вы ищете свои корни, стоит проверить списки населённых мест Российской империи за XIX век — там могут значиться деревни с корнем «Отмут». Возможно, предки были государственными крестьянами, а не помещичьими, так как топонимические фамилии на -ский нередко встречались в среде свободных земледельцев.