Фамилия Паемшин — редкая, и её корень не лежит на поверхности. Чтобы понять, откуда она взялась, нужно смотреть не на готовое слово, а на то, как её могли образовать.

Первое, что бросается в глаза, — суффикс -ин. Он указывает на принадлежность: Паемшин — буквально «сын Паемши» или «человек из семьи Паемши». Основа, скорее всего, происходит от прозвища или некалендарного имени Паемша. В русских говорах слово «пай» означало долю, часть, надел земли, а также взнос в общее дело. В сочетании с суффиксом -емш- (здесь возможна диалектная переогласовка) прозвище Паемша могло закрепиться за человеком, который отвечал за распределение паёв, следил за общинными наделами или, наоборот, всегда получал свою долю — то есть был расчётливым, хозяйственным.

Есть и другая версия, более спорная. В некоторых говорах слово «пай» имело значение «польза, выгода», а «емшить» — «брать, отнимать». Тогда Паемша — это прозвище человека, который «емлет пай», то есть берёт своё, не упускает выгоды. Но такая трактовка менее вероятна: слово «емшить» в этом значении почти не зафиксировано, а вот связка «пай» + суффикс принадлежности — стандартный путь для русских фамилий.

Географически фамилия тяготеет к регионам бывшего Русского Севера и Поволжья — там, где общинное землепользование и переделы паёв были особенно развиты. Встречается она редко, что говорит о локальном происхождении: скорее всего, один род дал начало всем носителям фамилии.

Интересно, что в фамилии нет суффикса -ов/-ев, который обычно присоединяется к основам на согласный. Здесь -ин — признак того, что основа оканчивалась на -а или -я. То есть исходное прозвище звучало именно как Паемша, а не Паемш. Это ещё один аргумент в пользу того, что перед нами не искажённое иностранное имя, а местное, диалектное прозвище.

Если искать однокоренные фамилии, то ближе всех Паюсов, Паев, Пайщиков — все они так или иначе связаны с понятием доли, части, надела. Паемшин стоит в этом ряду особняком из-за редкого суффиксального оформления.