Фамилия Паксяйкин — редкий случай, когда в основе лежит не имя, не профессия и не географическое название, а, скорее всего, прозвище, образованное от глагола или звукоподражания. Её можно разобрать на три части: корень «пакс-», суффикс «-яй-» и типичный фамильный суффикс «-кин». Суффикс «-яй» в русских прозвищах встречается нечасто, но он известен: он придаёт слову оттенок действия или свойства (сравните «гуляй», «ломяй» — повелительные формы, ставшие прозвищами). Соответственно, «Паксяй» — это человек, который «паксяет», то есть делает что-то, связанное с корнем «пакс-».

Сам корень «пакс-» не является общеупотребительным в литературном русском языке. Самая правдоподобная версия связывает его с диалектным глаголом «паксать» — плакать, рыдать, хныкать. В некоторых северных и сибирских говорах «пакса» или «пакся» означала плаксу, капризного ребёнка. Тогда «Паксяй» — тот, кто постоянно плачет или ноет. Прозвище могло закрепиться за ребёнком или взрослым с такой привычкой, а затем перейти в фамилию по модели «чей?» — Паксяйкин, то есть сын или потомок Паксяя.

Менее вероятная, но допустимая версия — отглагольное прозвище от «пакшить» (мельчить, крошить, толочь) или от слова «пакля» (грубое волокно). В этом случае «Паксяй» мог означать мастера по обработке пеньки или человека, который постоянно что-то крошит. Однако фонетически «паксяй» ближе именно к «паксать», чем к «пакля» или «пакшить».

Географически фамилия тяготеет к Поволжью и, возможно, к северным областям, где диалектное слово «паксать» было в ходу. Встречается она крайне редко — носителей единицы. Фамилия недворянская и нестаринная: суффикс «-кин», а не «-ов», указывает на то, что основа прозвища оканчивалась на гласный или мягкий согласный, что типично для крестьянских и мещанских фамилий, оформленных уже в XVIII–XIX веках. По сословной принадлежности предки Паксяйкиных — почти наверняка крестьяне или ремесленники, получившие фамилию по уличному прозвищу.

Таким образом, Паксяйкин — это «сын плаксы» или «сын того, кто постоянно хнычет». Прозвище звучит необидно, скорее бытовое, с оттенком укоризны или шутки. В современном языке фамилия сохранила редкую диалектную основу, которая уже почти вышла из употребления.