Фамилия Паксяйкина — женская форма фамилии Паксяйкин, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса. Формант -ин указывает на принадлежность: в русской традиции такие фамилии образовывались от личных имён или прозвищ, оканчивающихся на -а/-я. Исходная основа здесь — Паксяйка. Это уменьшительно-обиходная форма, характерная для северных и центральных говоров, где суффикс -айк- придаёт слову ласкательный или просторечный оттенок (сравните: Ваня — Ванька, Саня — Санька). Значит, Паксяйка — это прозвище или производное от имени.

Корень пакс- в русских фамилиях встречается редко и почти всегда связан с диалектной лексикой. В рязанских, тамбовских и владимирских говорах «пакса» означало «плакса», «нытик», а также «раскисший от сырости человек» (от глагола «паксать» — плакать, хныкать). Прозвище Паксяйка могли дать капризному ребёнку или взрослому с чувствительным характером. Но есть и вторая версия: в некоторых областях «пакса» — это «неуклюжий, медлительный человек» (возможно, от «пакша» — левша). Тогда Паксяйка — насмешливое прозвище для неловкого или неспешного работника.

Географически фамилия Паксяйкин (и Паксяйкина) тяготеет к Мордовии и соседним регионам — Пензенской, Нижегородской, Ульяновской областям. Это не случайно: в эрзянском и мокшанском языках есть слово «пакся» — «поле». Мордовские фамилии с основой пакс- (Паксяев, Паксюткин) известны, и Паксяйка могла быть русифицированной формой мордовского прозвища, данного полевому работнику или человеку, жившему у поля. В пользу этой версии говорит и характерный для русско-мордовского пограничья суффикс -айк-, который часто добавляли к иноязычным основам при адаптации имён.

Таким образом, фамилия Паксяйкина с высокой вероятностью имеет два источника: либо внутрирусское прозвище от диалектного «пакса» (плакса или неуклюжий человек), либо мордовское прозвище, связанное с полем. Первая версия правдоподобнее для чисто русских носителей, вторая — для семей с мордовскими корнями. Сословной привязки у фамилии нет: её могли носить и крестьяне, и мещане, но в документах XVIII–XIX веков она чаще встречается среди государственных крестьян и однодворцев юго-восточных губерний.