Фамилия Паламренко — одна из тех, где исходное слово почти стёрлось, а суффикс указывает на географию и время появления. Разберём её по косточкам.

Основа фамилии — «Паламр-». Сразу бросается в глаза, что это не типичное славянское имя или прозвище вроде Иван или Кривой. Скорее всего, перед нами переделанная фамилия или прозвище греческого происхождения. В греческом есть слово «паламос» (παλάμος) — «ладонь» или «пядь», мера длины. В переносном смысле «Паламас» могло быть прозвищем человека с широкой ладонью, либо того, кто отмерял что-то «на глаз», пядь за пядью. Известна греческая фамилия Паламас (например, поэт Костис Паламас). В русской среде, особенно в южнорусских и украинских землях, такие фамилии нередко обрусевали: к греческой основе добавляли славянский суффикс. В нашем случае это суффикс -енко, типичный для украинской и южнорусской ономастики. Он означает «сын» или «потомок»: Паламренко — буквально «сын Паламаса» или «потомок Паламаса».

Однако есть и вторая версия, более прозаичная. Фамилия могла возникнуть от прозвища Паламарь, которое на юге России и в Украине давали пономарю (церковному служителю). Слово «пономарь» в народе произносили как «паламарь» или «паламар». Если отбросить суффикс -арь, останется основа «Палам-», к которой легко приросло -ренко. Паламренко в таком случае — «внук пономаря». Эта версия видится даже правдоподобнее греческой, потому что прозвища по церковным должностям были массовыми, а греческие переселения в Малороссию — явлением более редким и локальным.

Написание фамилии с буквой «р» в середине (Паламренко, а не Паламаренко) — результат стяжения гласных. В живой речи «Паламаренко» могли произносить быстро, и безударная «а» выпала. Такая фонетическая редукция — обычное дело для украинских фамилий второй половины XIX века, когда фамилии фиксировали на слух, а не по правилам.

Географически фамилия тяготеет к Полтавской, Харьковской и Черниговской губерниям. Встречается она нечасто, что говорит о локальном характере прозвища: скорее всего, родоначальник был либо единственным пономарём в округе, либо носителем греческого корня, чьи потомки не разошлись широко. Сословно носители фамилии — почти наверняка крестьяне или казаки, так как суффикс -енко в XIX веке был уже не маркером знатности, а просто формой, указывающей на происхождение от отца.

Коротко: Паламренко — фамилия-загадка с двумя равновероятными корнями. Либо от греческого «ладонь» (редкий случай миграции греческого прозвища в украинскую среду), либо от церковной должности пономаря (более бытовая и частая история). Выбор за тем, что ближе семейному преданию.