Фамилия Палаженков — редкий случай в русской ономастике, где суффикс указывает на географию точнее, чем корень. В ней отчетливо слышен южнорусский или украинский след: основа «Палаженк-» образована с помощью уменьшительно-уничижительного суффикса -енк(о), типичного для фамилий левобережной Украины и прилегающих областей России (Курская, Белгородская, Воронежская губернии). Русская адаптация добавила патронимический суффикс -ов, превратив украинское прозвище в стандартную великорусскую фамилию: Палаженко → Палаженков.

Корень «Палаж-» восходит к просторечной форме имени Пелагея — Палажа или Палага. Пелагея (от греческого «пелагос» — море) было распространенным женским именем в крестьянской среде XIX века. Палаженков, таким образом, означает «сын Палажи» или «потомок Палаги». В русской традиции фамилии от женских имен образовывали реже, чем от мужских, и часто это указывало на особые обстоятельства: например, на внебрачное рождение, когда ребенка записывали по матери, или на то, что мать была вдовой и главой семьи. Впрочем, в южнорусских говорах имя Пелагея могло быть настолько привычным, что фамилия от него не несла никакого социального оттенка.

Менее вероятна, но возможна связь с польским или белорусским словом «палаж» — положение, уклад, или с глаголом «палажить» (класть, укладывать). В таком случае прозвище Палаженко мог получить мастер-укладчик (печника, плотника или даже военного, отвечавшего за порядок в обозе). Эта версия слабее, потому что фамилии с корнем «палаж-» в документах встречаются почти исключительно в областях, где имя Пелагея было в ходу.

Фамилия редкая: по переписям XX века носители Палаженковы сосредоточены в основном в Курской и Орловской областях, а также на юге России. Встречается и вариант без русификации — Палаженко, что подтверждает украинское происхождение основы. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они происходили из крестьянской среды Черноземья, где имя Пелагея было одним из самых частых женских имен.