Фамилия Палянецкая — одна из тех, где форма на -ская/-цкая почти наверняка указывает на польское или западнорусское (белорусское, украинское) происхождение. В русской традиции фамилии с таким окончанием чаще всего получали дворяне или духовенство, но в данном случае всё может быть скромнее.

Корень фамилии — «палянец». В украинском и белорусском языках «паляниця» (женский род) — это вид пшеничного хлеба, каравай. Мужская форма «палянец» — тот же хлеб, но в уменьшительном или диалектном варианте. Соответственно, прозвище Палянец мог получить пекарь, торговец хлебом или просто человек, любивший этот сорт хлеба. Суффикс -ец в основе — типичный для восточнославянских прозвищ, образованных от названий предметов или еды.

Дальше — суффикс -ская. Это притяжательно-топонимическая модель. Чаще всего фамилии на -ский/-цкий означали «из такого-то места» или «принадлежащий такому-то». В случае Палянецкой есть две версии. Первая: фамилия образована от названия населённого пункта вроде Палянцы, Палянец или Палянка. Такие топонимы встречаются на территории современной Украины и Беларуси. Вторая: фамилия могла возникнуть как прозвище жены или дочери человека по прозвищу Палянец (Палянец → Палянецкая). В польской традиции фамилии на -ская часто носили женщины из шляхетских родов, но в крестьянской среде это тоже бывало, особенно при переходе фамилии через поколения.

Интересная деталь: написание через «я» (Палянецкая, а не Полянецкая) указывает на украинское или белорусское произношение — там «я» на месте древнерусского «ѣ» (ять). В русском языке в этой позиции чаще было бы «е» или «о». То есть носитель фамилии с высокой вероятностью происходит из региона, где говорили на западнорусских говорах.

О сословной принадлежности сказать трудно. Фамилии на -ская в Российской империи могли носить как дворяне (особенно если была приставка «из»), так и духовенство (семинарские фамилии) и даже крестьяне, получившие фамилию по месту жительства. Без конкретных архивных записей по конкретной семье точнее не определить.