Фамилия Панамчик — редкий случай, когда прозвище не перешло в стандартную патронимическую форму на -ов/-ев, а сохранило уменьшительный суффикс, который в исходном слове выражал не столько размер, сколько отношение. Основа здесь — «панамка» (головной убор, лёгкая шляпа с полями). В XIX веке панамами называли не только шляпы, но и, по аналогии, нечто несерьёзное, пустое — отсюда пошло выражение «панамка» в значении «обман, афера». Однако вряд ли фамилия восходит к мошенничеству: скорее всего, прозвище Панамка дали человеку, который постоянно носил панаму или торговал ими. Суффикс -ик в русских фамилиях обычно указывает на принадлежность к чему-либо или на профессию (ср. Сапожник, Печник), но здесь он присоединился к уже готовому слову «Панамка». Получилось «Панамчик» — буквально «сын или потомок Панамки» или просто «маленький Панамка».

Географически такая модель чаще встречается на западе и юге России, а также в Беларуси и на Украине, где уменьшительные фамилии на -ик не редкость. В центральных великорусских губерниях предпочли бы форму Панамкин. Поэтому Панамчики могли происходить из чернозёмных областей или с территорий, где смешивались русские и малороссийские говоры.

Есть и альтернативное объяснение, пусть и менее вероятное: фамилия могла возникнуть от польского или еврейского корня. В польском «panamka» — то же, что и в русском (заимствование из французского через моду на панамские шляпы). Но в польской традиции суффикс -czyk (-чик) часто давал фамилии от имён (Jan — Janiczyk). Однако Панамчик — не от имени, так что версия с прозвищем остаётся основной.

Сословной привязки нет: прозвище могли дать и крестьянину, и мещанину. Но если предположить, что предок торговал шляпами или шил их, то фамилия могла закрепиться в ремесленной среде. В любом случае, Панамчик — фамилия нечастая, и её носители, скорее всего, имеют общих предков в пределах нескольких поколений, а не разбросаны по всей стране.