Фамилия Пайгачкина — редкий случай, где географическая привязка оказывается надёжнее, чем прозрачная этимология. Если вы встретили её в документах, скорее всего, корни стоит искать на юге России или в Поволжье. Основа здесь — прозвище или некалендарное имя Пайгачка, а суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — Пайгачкин, то есть сын или потомок Пайгачки. Женская форма Пайгачкина — просто грамматическое изменение по роду, распространённое в русской традиции.

Сам корень «Пайгач» не входит в списки древнерусских имён и не встречается в словарях тюркских или финно-угорских языков как очевидное заимствование. Однако по звучанию он близок к тюркскому «пай» (богатство, доля) или «бай» (господин, богач). Возможна версия, что Пайгачка — это уменьшительная форма от имени Пайгач, которое когда-то означало «богатенький» или «счастливчик» (от тюркского «бай» + уменьшительный аффикс «-гач»). В таком случае фамилия могла возникнуть в среде крещёных татар, башкир или других тюркоязычных народов, перешедших в православие, — для них было обычным делом русифицировать прозвище суффиксом -ин и получить фамилию.

Есть и более прозаичная версия: Пайгачка могло быть прозвищем человека, связанного с пайком или пайкой (например, тот, кто делил хлеб или работал с оловом). Но это маловероятно, потому что слово «пайка» в значении «порция» или «соединение металлов» не даёт естественной уменьшительной формы на -гачк-.

Сословного барьера у фамилии не было: Пайгачкины могли быть и крестьянами, и мещанами, и однодворцами. В документах XIX века эта фамилия встречается в Тамбовской и Саратовской губерниях — как раз на стыке русских и тюркских земель, где смешение культур давало такие необычные словоформы. Если ваши предки оттуда, то версия с тюркским «баем» становится основной. Если же фамилия записана, скажем, в Архангельской области, придётся искать другое объяснение, возможно, связанное с местным диалектом или искажением более частой фамилии.

Уникальность фамилии Пайгачкина в том, что она почти не попала в массовые справочники. Её нет в списках частотных фамилий России, и носителей по всей стране — единицы. Это значит, что род, скорее всего, не разветвлялся широко и сохранил исходную форму без изменений, которые обычно стирают редкие окончания.