Фамилия Побезинская — женская форма фамилии Побезинский, и её разбор стоит начать с суффикса. Окончание -ская указывает на типичную польско-белорусскую или украинскую модель образования фамилий по географическому принципу. Такие фамилии давались по названию населённого пункта: человек, владевший им или родом оттуда, получал прозвище по месту. Основа Побез- восходит, скорее всего, к топониму Побезино, Побез или похожему названию. В Польше и Западной Беларуси встречаются деревни с корнем Побез- (например, Побезово в исторической Гродненской губернии). Таким образом, первый носитель фамилии Побезинский — это либо шляхтич, владевший таким имением, либо крестьянин, переселившийся оттуда и записанный по месту выхода.

Сам корень Побез- неочевиден для русского уха. В славянских языках он может быть связан с глаголом «побежать» или «победить», но прямое значение здесь вряд ли прозрачно. В ономастике существует версия, что Побез- — это вариант от «побез» как диалектного слова, означавшего «бездельник» или «ленивый» (от «без дела»), но она спорна. Правдоподобнее, что это адаптация балтского или древнепольского корня, который со временем утратил связь с живым языком. В любом случае, фамилия географическая, а не прозвищная: суффикс -ский почти всегда привязывает человека к месту.

С точки зрения словообразования, Побезинская — типичная «дворянская» форма на -ская, которая в XIX веке широко распространилась и среди мещан и крестьян после отмены сословных ограничений. В Российской империи такие фамилии чаще встречались среди католической или униатской шляхты на землях бывшей Речи Посполитой. Если искать аналоги, то однокоренные фамилии — Побезин, Побезов, Побезинский — крайне редки, что говорит о локальном бытовании. В современных базах данных Побезинская встречается единично, в основном в России и Беларуси, что подтверждает её узкую географическую привязку.

Главная ценность этой фамилии для потомка — в её прозрачной, хоть и неочевидной, связи с конкретным местом. Если у вас есть семейные предания о выходе из западных губерний, это хорошая зацепка: стоит искать старые карты или списки населённых пунктов с корнем Побез- в Гродненской, Минской или Виленской губерниях. Фамилия не несёт в себе ни ремесла, ни личного прозвища — она просто говорит: «мой предок был оттуда-то». И это единственная нить, которую стоит проверить.