Фамилия Побыйвовк — один из ярких примеров украинской бытовой ономастики, где прозвище превратилось в фамилию, сохранив глагольную конструкцию. В отличие от распространённых фамилий на -енко или -ук, эта модель образования встречается реже и сразу выдает разговорное, даже шутливое происхождение.

В основе лежит украинское побій або побої — «побоище», «драка» или «побои». Глагольная часть «вовк» (укр. «волк») указывает на сравнение с этим зверем. Дословно фамилию можно перевести как «побей волка» или «побивающий волка». Вероятно, так прозвали человека, который славился тем, что мог справиться с волком — либо как охотник, либо в переносном смысле, как храбрец и силач. В украинских говорах такие прозвища нередко давали задиристым или отчаянным людям, готовым в одиночку вступить в схватку с опасным зверем.

С точки зрения словообразования, фамилия представляет собой целую фразу, спрессованную в одно слово. Суффикса в привычном смысле здесь нет — окончание -в (от -ов) появилось уже при русификации фамилии в документах Российской империи. Изначально форма могла звучать как Побыйвовк или Побійвовк, без фамильного суффикса. Такие «глагольные» фамилии характерны для украинского Правобережья и Волыни, где в XIX веке фиксировали прозвища прямо в качестве фамилий.

Географически фамилия редкая. Встречается преимущественно в центральных и западных областях Украины (Винницкая, Житомирская, Хмельницкая области), а также среди потомков украинских переселенцев в Сибири и на Дальнем Востоке. В России носителей мало, и чаще всего это украинцы по происхождению.

В ономастических справочниках (например, в работах Ю. Редько по украинским фамилиям) подобные конструкции описываются как «прозвища-предложения». Они отражают народное остроумие: человеку давали имя по действию или событию, которое с ним связано. Побыйвовк — не исключение: за этой фамилией стоит не столько род занятий, сколько характер или случай из жизни предка.