Фамилия Побыко — редкий пример, где необычное звучание напрямую указывает на способ образования. В ней работает белорусско-украинский суффикс -ко, который в восточнославянских фамилиях чаще всего означал «сын» или «маленький» (Петренко — сын Петра, Шевченко — сын шевца). Основа здесь — Побы- от глагола «побыть» или существительного «побыт» (быт, уклад жизни). Получается, что Побыко — это «тот, кто побыт», то есть человек, которого характеризовали через его быт, образ жизни или кратковременное пребывание где-то.

Вероятнее всего, прозвище Побыко дали человеку, который «побывал» в разных местах — бродяге, путешественнику или солдату, вернувшемуся из похода. В говорах слово «побыть» могло означать и «пожить у кого-то», так что носитель фамилии мог быть пришлым, временным жителем. Менее распространённая версия — связь с диалектным «побыть» в значении «привычка, обычай»: тогда Побыко — это человек с устоявшимся, даже консервативным укладом.

Географически фамилия тянется к западу: она типична для Гродненской и Брестской областей Беларуси, а также для Волынской и Ровенской областей Украины. Именно в этих краях суффикс -ко особенно активен, и многие фамилии на -ко там не имеют «великорусского» окончания -ов (ср. Побыков — это уже русифицированный вариант, который тоже встречается, но реже). Если ваш предок носил фамилию Побыко, он почти наверняка происходил из крестьянской или мещанской среды Полесья.

Интересная деталь: в польском языке есть слово pobyt — «пребывание, проживание». Учитывая многовековое влияние польской культуры на тех же белорусских землях, не исключено, что прозвище возникло на пограничье языков, как калька. Но основа остаётся славянской и прозрачной: фамилия Побыко говорит о человеке, которого окружающие запомнили либо по его «бывалости», либо по его «осёдлости» — в зависимости от того, как толковать корень.