Фамилия Побычаев — яркий пример того, как русская фамилия может быть образована от глагола, причём не от церковного или книжного, а от живого, разговорного слова. В основе лежит глагол «побычать». В диалектах русского языка, особенно в северных и сибирских говорах, он означал «привыкать», «осваиваться», «входить в обычай». «Побычать» — значит приучить себя к чему-то, перенять местные порядки, стать «своим» на новом месте. Соответственно, прозвище Побычай давали человеку, который легко адаптировался, умел ладить с людьми или, напротив, был известен своими привычками и устоявшимся укладом.

Словообразовательная модель здесь прозрачна: суффикс -ев указывает на принадлежность (чей? — Побычаев), то есть «сын Побычая» или «человек из рода Побычая». В отличие от более распространённых фамилий на -ов, вариант на -ев часто встречается, когда основа оканчивается на мягкий согласный или шипящий (как в данном случае — «ч»). Фамилия не относится к числу дворянских или древних княжеских — она крестьянская или посадская, и её носители, скорее всего, были вольными или государственными крестьянами, а не крепостными, поскольку в среде помещичьих крестьян фамилии закреплялись позже и часто по имени отца, а не по прозвищу.

Примечательно, что фамилия Побычаев — довольно редкая. Она не входит в списки самых частых русских фамилий и имеет локальное распространение. Основные очаги её бытования, судя по данным современных переписей и телефонных справочников, — это Вологодская область, Архангельская область и Пермский край. Это как раз те регионы, где сохранялись древние говоры и где слово «побычать» было в ходу. Если ваш предок носил эту фамилию, он, вероятно, происходил из северной или уральской деревни, где ценилась способность человека «побычать» — приноровиться к суровым условиям и местному укладу.

Интересно, что у фамилии нет однозначной параллели с церковными именами (в отличие от Иванов или Петров), что делает её чисто прозвищной по происхождению. В старых документах, например в писцовых книгах XVII века, можно было встретить запись: «крестьянин Побычайка», что подтверждает бытовой, неофициальный характер прозвища. Со временем, при переходе к фамильной системе, потомки этого Побычайки и стали Побычаевыми.