Фамилия Побытова — женская форма от Побытов, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса, который сразу выдаёт модель образования. Суффикс -ов- указывает на классическую русскую патронимическую схему: такую фамилию получили потомки человека по имени или прозвищу Побыт. То есть исходное слово — мужское прозвище Побыт, а Побытовы — это «дети Побыта».

Корень «быт» здесь прозрачен, но значение не лежит на поверхности. В древнерусском языке слово «быт» означало не только повседневный уклад, но и «имущество, достаток, пожитки». Приставка «по-» в прозвищах часто имела усилительное или отглагольное значение. «Побыт» — это человек, который «побытовал», то есть обзавёлся хозяйством, нажил добро, устроился основательно. В некоторых говорах «побыт» могло означать и «обычай, порядок ведения хозяйства». Так что прозвище Побыт могли дать рачительному, домовитому хозяину, который крепко стоит на ногах и умеет вести дом.

Менее вероятная, но тоже возможная версия — связь с глаголом «побывать». В этом случае Побытом называли человека, который много где побывал, странника или бывалого человека. Однако для такого значения чаще использовались прозвища с суффиксом -ун- (Побывальщик, Побывалец) или совсем другие корни. Версия с «бытом-хозяйством» выглядит убедительнее: она опирается на устойчивую модель прозвищ по роду занятий или характерному качеству, а Побытовы — одна из тех фамилий, что прямо указывает на социальный статус предка как зажиточного крестьянина или домовитого горожанина.

Фамилия встречается нечасто, но её география примечательна. Основной массив Побытовых зафиксирован в северных и центральных областях России — в Вологодской, Архангельской, Костромской губерниях. Это регионы, где традиционно ценилось крепкое единоличное хозяйство, и прозвище Побыт могло возникнуть именно в такой среде. В документах XVIII–XIX веков Побытовы числятся преимущественно среди государственных крестьян и мещан — никакого дворянства или купечества первой гильдии, зато устойчивый след в переписях северных уездов.

Стоит обратить внимание на ударение: в фамилии Побытов оно падает на второй слог — Побытов. Это отличает её от возможного омонима с ударением на «о» (Пóбытов), который мог бы образоваться от имени Пóбыт, но такого имени в святцах нет. Ударение на «ы» — дополнительный аргумент в пользу прозвищного происхождения от слова «быт».