Фамилия Почичикина — редкий пример, где женская форма закрепилась в словарях, хотя мужская (Почичикин) встречается ещё реже. Сразу бросается в глаза необычный корень: «почич-» не похож на типичные русские основы вроде «Иван» или «кузнец». Скорее всего, здесь мы имеем дело с диалектным или искажённым прозвищем, которое потом оформилось по стандартной модели «-ин» (чей? — Почичикин, то есть сын или потомок Почичики). Суффикс «-ин» указывает на принадлежность к роду, характерную для фамилий, образованных от личных имён или прозвищ на -а/-я.

Разбираем основу. «Почичикина» явно восходит к слову «почичик» или «почичка». В русских говорах, особенно южнорусских и украинских, «почичка» — это уменьшительное от «почка» (орган или часть растения). Однако прозвище «Почичик» могло возникнуть и от глагола «почичкать» — в некоторых диалектах так говорят о быстром, дробном стуке или чириканье (сравните: «чирик»). Вторая версия: основа связана с «починать» (начинать) и диалектным «починок» (новое поселение, расчищенное под пашню место). Тогда «Почичик» — это человек, живший на починке, или тот, кто «починает» дело, зачинатель. Но эта гипотеза менее вероятна, потому что в фамилиях от «починок» чаще встречаются формы Починков, Починкин.

Самый правдоподобный путь: прозвище Почичик получил человек с какой-то характерной чертой — либо маленький, «как почечка» (почка), либо говорливый, «чирикающий». В пользу последнего говорит то, что фамилия встречается в Вологодской и Архангельской областях, где северные говоры сохранили слово «почичкать» в значении «щебетать, болтать без умолку». Таким образом, далёкий предок Почичикиных мог быть балагуром или, наоборот, тихоней, которого дразнили за тонкий голосок. Сословно фамилия, скорее всего, крестьянская: сложные прозвища с уменьшительными суффиксами типичны для сельской среды, где фамилии закрепились поздно, в XIX веке, при переписях.

Написание с двумя «и» подряд (Почичикин) для русского уха непривычно, но оно отражает чередование в основе: почичик — почичикин. Встречаются варианты Почечикин, Пачичикин, но они ещё более редки. Сейчас фамилия Почичикина — большая редкость, её носители живут в основном в центральной России и на севере. Если вы её носитель, то, скорее всего, ваши предки происходят из Вологодчины или Архангельской губернии.