Фамилия Починышев — редкий случай, где суффикс -ев указывает не на отчество от имени, а на прозвище, связанное с действием. В основе лежит глагол «починить» — в старом значении «начать, предпринять, взяться за дело». Человек, которого называли Почин или Починыш, — это зачинатель, инициатор, тот, кто первым брался за работу или затевал новое дело. В русских говорах «почин» означало и начало, и первый шаг, и даже первый сноп в страду. Фамилия образована по модели: прозвище Починыш (с уменьшительным суффиксам -ыш, как Малыш, Глупыш) плюс притяжательный суффикс -ев, буквально «сын Починыша».

Интересно, что фамилия почти не встречается за пределами северных и центральных областей России — Вологодской, Костромской, Кировской областей. В этих краях слово «почин» особенно активно использовалось в крестьянской среде: починком называли новый выселок или участок земли, впервые распаханный в лесу. Поэтому Починышев могло быть и прозвищем первопоселенца, основателя нового хутора. В таком случае фамилия несет в себе не столько личную черту, сколько социальную роль — человека, который «починал» новое место.

Словообразовательная модель с суффиксом -ыш здесь нестандартна: обычно от глагольных основ образуются фамилии через -ов/-ев от полных форм (Починков, Починкин), а Починышев — редкий вариант с уменьшительно-ласкательным оттенком. Это может указывать на то, что прозвище дали молодому парню или младшему в семье, который прославился как зачинщик. Ударение в фамилии, скорее всего, падает на второй слог — Почи́нышев, хотя в диалектах возможны колебания.

В ономастических справочниках фамилия не упоминается в числе массовых, что подтверждает её узколокальное бытование. Сравните с однокоренными: Починков — от названия починка, Почанин — от глагола «почать» (начать). Починышев выделяется именно суффиксом, который делает фамилию «говорящей» о прозвище, а не о месте. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они происходят из среды вольных крестьян-землепроходцев, осваивавших новые земли на севере Руси.