Фамилия Половошева — женская форма фамилии Половошев, и её разбор стоит начать с суффикса. Суффикс -ев указывает на притяжательное значение («чей?» — сын или потомок Половоша), а основа явно восходит к прозвищу или неканоническому имени Половоша. Это редкая словообразовательная модель: имя на -оша, образованное от глагольного корня.

Корень здесь — «полов-», который в русских говорах имел несколько значений. Самое вероятное: «полоть» (пропалывать, очищать от сорняков) или «половить» (ловить, хватать). Прозвище Половоша могли дать человеку, который много полол в поле, был старательным земледельцем. Менее распространённая версия связывает основу с диалектным «половеть» — становиться бледным, желтеть (о хлебах или лице). Тогда прозвище могло указывать на внешность: бледный, светловолосый человек.

Обратите внимание на суффикс -ош-: он характерен для севернорусских и сибирских говоров (сравните: Болотоша, Гуляша, Милоша). Такие прозвища часто давали в крестьянской среде, без привязки к сословию — это не дворянская фамилия. Встречаемость фамилии Половошев/Половошева крайне низкая, что говорит о локальном происхождении, возможно, из одной деревни или волости.

В ономастических словарях эта фамилия не зафиксирована, но по модели она близка к фамилиям Половов, Половцев, Половинкин. Разница в суффиксе: -ов/-ев образует фамилии от личных имён, а -цев — от прозвищ по месту или занятию. Половошев стоит ближе к первой группе, но с редким уменьшительным суффиксом -ош-.

Если ваш предок носил фамилию Половошев, он с высокой вероятностью был крестьянином из северных губерний России, возможно, из Архангельской или Вологодской области. Прямого указания на ремесло фамилия не даёт, но намекает на занятие земледелием или на характерную внешность.