Фамилия Приудской — редкий пример, в котором географическая привязка не просто угадывается, а почти наверняка является основой. В отличие от большинства фамилий на -ский, образованных от названий городов и сёл (Ростовский, Тверской), здесь корень «Приуд-» указывает не на населённый пункт, а на положение относительно реки или водного объекта — скорее всего, Уды. Эта река протекает в Харьковской области Украины и впадает в Северский Донец. Соответственно, «приудской» — тот, кто живёт при Удах, то есть на берегу или вблизи этой реки. Модель образования проста: основа «при-Уд-» (положение у реки) плюс типичный суффикс принадлежности -ск- и окончание -ой, которое в старых говорах закрепилось в форме прилагательного.

Суффикс -ск- в русских фамилиях чаще всего маркирует дворянское или духовное происхождение, но здесь важно не обмануться. Фамилии, образованные от названий рек и урочищ, могли получить и крестьяне, и казаки — по месту жительства, без связи с сословным статусом. В случае с «Приудской» дворянский оттенок маловероятен: географические фамилии с приставкой «при-» (Придонской, Прилуцкий) обычно бытовали в среде однодворцев, казачества и мещанства, особенно в южнорусских и украинских землях. Если предки носили эту фамилию, они, скорее всего, были жителями слобод или хуторов вдоль реки Уды — возможно, выходцами из Слобожанщины.

Обратим внимание на окончание. Форма «Приудской» (а не «Приудский») — это усечённый вариант притяжательного прилагательного в именительном падеже, характерный для южнорусских говоров и украинского влияния. В официальных документах XIX века такую фамилию могли записать и как «Приудский», но в быту закрепилась именно «-ой». Это не ошибка, а диалектная черта, которая помогает локализовать происхождение рода.

Единственный спорный момент — не путать ли корень с фамилией «Прилуцкий» (от города Прилуки). Но «Приудской» явно отсылает к гидрониму, а не к топониму на -лук. Река Уда упоминается в летописях с XII века, и поселения вдоль неё — Уды, Харьков (на слиянии с Лопанью) — дали много фамилий с корнем «уд-». Так что версия с рекой — основная и самая правдоподобная. Других внятных этимологий (от прозвища или личного имени) для этой фамилии нет.