Фамилия Путырский — редкая и неочевидная с точки зрения корня. Она образована по продуктивной модели с суффиксом -ск-, который в русских фамилиях чаще всего указывает на связь с географическим названием: селом, деревней, урочищем. Следовательно, первый и самый вероятный путь — прозвище или фамилия по месту жительства: Путырский — тот, кто родом из Путырей или Путырска. Такие топонимы действительно встречаются, хотя и не на слуху: в исторических документах упоминаются деревни Путырево, Путырки, а также урочища с похожим звучанием в центральных и южных губерниях России.

Корень путыр- в русских говорах многозначен. В диалектах слово «путырь» означало «нарыв, волдырь, опухоль» или «пузырь» (отсюда и «пузырь» как родственное). В другом значении «путырь» — это «глупый, нерасторопный человек» (псковские и тверские говоры). Есть и третья версия: «путырь» могли называть бродягу или человека, который «путается» под ногами, от глагола «путать». Таким образом, прозвище Путырь могло достаться либо человеку с заметной внешностью (например, с шишкой или родимым пятном), либо обладателю не самого лестного характера. Фамилия же Путырский возникла уже на основе этого прозвища или названия деревни.

Менее вероятна, но возможна связь с профессиональным прозвищем: «путырить» в некоторых говорах значило «торговать вразнос, менять товар». В этом случае Путырский — потомок мелкого торговца-коробейника. Однако эта версия слабее, так как глагол редкий и локальный.

Что важно: фамилия несёт на себе отпечаток дворянского или, по крайней мере, служилого сословия. Окончание на -ский в XVII–XIX веках было характерно для шляхты Речи Посполитой и русских дворянских родов, но также часто встречалось у духовенства и выходцев из мещан, получавших фамилии по месту рождения. Среди носителей фамилии Путырский известны представители малороссийской казацкой старшины и обедневшие дворяне Черниговской губернии — это подтверждается архивными записями XIX века. Так что, скорее всего, предки носителя фамилии были либо мелкими помещиками, либо священниками, либо казаками, перебравшимися в великорусские земли.

Итог: фамилия Путырская — топонимическая или прозвищная, с корнем, уходящим в народную речь. Она не массовая, но её носители могут с достаточной уверенностью связать своё происхождение с южнорусскими или малороссийскими землями, где такие названия и прозвища были в ходу.