Фамилия Рамошките — почти со стопроцентной уверенностью литовская. Её выдает суффикс -ите (-ytė), который в литовском языке является одним из самых распространённых способов образования женских фамилий. Если мужчина в Литве носит фамилию Рамошка (Ramоška), то его дочь или жена будет Рамошките (Ramоškytė). Это не просто окончание, а грамматический маркер, указывающий на женский пол носительницы. В русском языке такие фамилии традиционно не склоняются.

Основа — Рамошк- — скорее всего, восходит к литовскому слову ramus (спокойный, тихий) или к его производным. В литовской антропонимике существует целое гнездо фамилий с корнем Ram-: Раманаускас, Рамашкявичюс, Рамутис. Рамошка могло быть прозвищем спокойного, уравновешенного человека. Менее вероятна, но возможна связь со словом ramoti (успокаивать, укрощать), что могло указывать на характер или род занятий — например, миротворца, посредника в спорах.

Фамилия Рамошките, как и большинство литовских фамилий на -ите, возникла не раньше XVI–XVII веков, когда в Великом княжестве Литовском окончательно оформилась система фамилий с патронимическими суффиксами. Носительницы этой фамилии — почти исключительно женщины, и встретить её можно в основном в Литве и среди потомков литовских эмигрантов. В России или Беларуси она редка и, скорее всего, принадлежит семье с литовскими корнями.

Стоит учесть, что в русском языке фамилию могли записывать на слух: Рамошките, Рамошкит, а иногда и Рамашките. Если ваши предки носили такую фамилию, но жили, скажем, в Витебской или Гродненской губернии, это почти наверняка указывает на литовское происхождение — возможно, предки были из числа литовцев-католиков, переселившихся на восток в XIX веке.