Фамилия Расински — редкий случай, когда написание указывает на географию точнее, чем корень. Форма на -ски (а не -ский) в русском языке почти всегда выдаёт польское или западнорусское происхождение. В польской традиции фамилии на -ski были принадлежностью шляхты, но позже распространились на все сословия. Расински — это вариант фамилии Расинский, и ключ к ней лежит в основе «Рас-».

Самая вероятная версия — топонимическая. Фамилию получил тот, кто владел землёй или жил в местечке под названием Расин, Расино или Расинск. Такие названия встречаются в Польше (например, деревня Rasin в Люблинском воеводстве) и на территории бывшей Речи Посполитой. Корень «рас-» может восходить к древнепольскому «rasa» — борозда, межа, то есть поселение на расчищенном поле. Менее вероятна связь с личным именем Раса (сокращение от Ратислав или Радослав), так как в этой модели чаще встречается суффикс -ович.

Словообразовательная модель проста: основа (название места) + суффикс -ин- + фамильный суффикс -ский. Двойной суффикс -инск- типичен для восточнославянских и польских фамилий, образованных от названий на -ин (Расин → Расинский). В русском языке фамилия чаще писалась бы как Расинский, но форма Расински закрепилась, если носители переехали в Россию из Польши или Беларуси в XIX–XX веках и сохранили польское написание.

Встречается также вариант Расиньский — с мягким знаком, что характерно для польской орфографии (Rasiński). Если ваш предок писался именно через «и» без мягкого знака, это может быть следствием русификации фамилии при записи в документах. Сословно предки могли быть как мелкой шляхтой, так и крестьянами — фамилии на -ski в Польше к XIX веку уже не гарантировали дворянства.