Фамилия Размиджо — редкая и необычная для русского слуха. Её происхождение почти наверняка не славянское, а итальянское или, что вероятнее, греческое. В русском языке у неё нет прозрачной словообразовательной модели: окончание «-джо» (или «-джо») нехарактерно для восточнославянских фамилий, которые обычно заканчиваются на -ов, -ин или -ский. Это сразу указывает на заимствование.

Первая часть, «Разми-», скорее всего, восходит к личному имени или прозвищу. В греческом языке есть имя Размик (Ραζμίκ), которое встречается у понтийских греков. Если добавить к нему суффикс или окончание, типичное для фамилий Южной Италии или греческих островов (где -джо передаёт звук «дзо» или «цо»), то получится Размиджо. По другой версии, основа могла быть искажённой формой армянского имени Размик (означает «воин», «рыцарь»), но фамильное окончание «-джо» скорее отсылает к итальянизированной греческой традиции.

В России и странах бывшего СССР фамилия Размиджо встречается крайне редко, в основном у потомков греческих переселенцев, которые в XIX — начале XX века оседали на юге (Приазовье, Крым, Одесская область) или на Кавказе. В таких семьях фамилия могла быть записана по-русски «на слух», без строгой транслитерации, поэтому возможны варианты написания: Размидзо, Размиджо, Размидзе. Если ваш предок носил эту фамилию, он, вероятно, был греком-понтийцем или выходцем из итальянских колоний на Средиземном море, а сама фамилия изначально означала «сын (или потомок) Размика».