Фамилия Регамэ — редкий случай в русском ономастиконе, и её происхождение почти наверняка не связано с исконно славянскими корнями. В русском языке нет слова «регамэ» или близкого к нему по звучанию, а суффикс -э нехарактерен для фамилий восточнославянского типа (где преобладают -ов, -ин, -ский). Поэтому первая и самая вероятная версия — фамилия заимствованная.

Скорее всего, Регамэ — это русифицированная запись французской фамилии Réguame или Regamé. Во Франции такие фамилии могли возникнуть от прозвища, связанного с глаголом régimer (управлять, править) или от искажённого имени Régis. В России XIX века, особенно после войны 1812 года, было модно русифицировать французские фамилии, сохраняя их звучание, но меняя написание на кириллицу. Например, французский аристократ или офицер на русской службе мог записаться как Регамэ.

Вторая, менее правдоподобная версия — искусственное происхождение. В советское время иногда создавали фамилии из аббревиатур или случайных сочетаний букв, но для Регамэ нет убедительных документов, подтверждающих такую этимологию. Также маловероятна связь с тюркскими или кавказскими языками — там окончание -э встречается чаще, но корень «рега» для них нехарактерен.

Географически фамилия Регамэ встречается крайне редко, в основном в центральной России и в среде потомков дворянства или интеллигенции. Если ваши предки носили эту фамилию, есть шанс, что они были связаны с французской культурой: гувернёры, офицеры, художники или ремесленники, осевшие в России. Однокоренных фамилий в русском языке нет, что только подтверждает её иноязычное происхождение.