Фамилия Рехенберг — явный пример немецкой географической фамилии, образованной по модели «топоним + -er». Человек, получивший такую фамилию, скорее всего, был выходцем из места под названием Рехенберг (Rehenberg) или жил у горы/холма с похожим именем. Разбираем название по частям: основа «Reh» в немецком языке означает «косуля», а «Berg» — «гора». То есть Рехенберг — это буквально «козья гора» или «оленья гора». Такие названия в Германии встречаются нередко: есть несколько небольших поселений и возвышенностей с таким именем, например, в землях Баден-Вюртемберг или Бавария.

Суффикс -er в немецких фамилиях выполняет ту же функцию, что русское окончание -ский в фамилиях типа Тверской или Рязанский: он указывает на происхождение человека из определённой местности. Таким образом, первый носитель фамилии Рехенберг — это «тот, кто с Рехенберга». В отличие от многих русских фамилий, которые часто образуются от имени или профессии отца, немецкие топонимические фамилии давали человеку по месту жительства или рождения, особенно если он переезжал в другой город или регион.

Фамилия эта не массовая, в России встречается редко. Её появление в русском контексте почти наверняка связано с переселением немецких колонистов в XVIII–XIX веках, особенно в Поволжье, Причерноморье или на Волынь. При записи в российских документах фамилия могла искажаться: встречаются варианты Рехенберг, Рёхенберг и даже Рехенбергъ (с твёрдым знаком в дореволюционных метриках). Ударение, скорее всего, падает на первый слог — Ре́хенберг, что соответствует немецкой акцентуации.

С точки зрения словообразовательной модели, фамилия прозрачна и не порождает споров. Единственный вопрос — к какому именно Рехенбергу восходит конкретный род, но это уже область генеалогии, а не ономастики. Если ваши предки носили эту фамилию, ищите их корни среди немецких колонистов, а не в славянской среде: основа «Рехен» ничего не значит ни в русском, ни в украинском языке, и попытки вывести её от «река» или «рехнуться» ошибочны.