Фамилия Рекшинськая — украинская по форме и, скорее всего, по происхождению. Её основа — топоним, то есть название места. Суффикс -ськ- (в русской передаче -ск-) указывает на принадлежность к местности: так образовывали фамилии по названию села или города. Получается, что первый носитель фамилии был либо родом из населённого пункта Рекшино (или Рекшин), либо владел им.

Где именно находилось это место? Наиболее вероятный кандидат — село Рекшино в Сумской области Украины. Это не единственный вариант: похожие названия встречаются в Польше (Rekczyn, Rakszawa) и в Беларуси. Но для украинской фамилии с окончанием -ська именно украинский топоним — самое прямое объяснение. Мужской вариант фамилии — Рекшинський, женский — Рекшинська.

Корень «Рекш-» тёмный. Он может восходить к древнему личному имени или прозвищу Рекша. В старых русских и украинских говорах слово «ректи» означало «говорить», «сказать». Тогда Рекша — человек с речью, говорун, возможно, тот, кто обладал даром красноречия или, наоборот, был резок на язык. Впрочем, это лишь гипотеза: прямая связь «речи» с фамилией не доказана, но лингвистически возможна.

С точки зрения социального статуса, такие фамилии на -ський/-цький в XVI–XVII веках чаще всего носили шляхта или казацкая старшина, но со временем они распространились и среди крестьян, особенно после отмены крепостного права, когда бывшие крепостные получали фамилии по названиям своих сёл. Так что предки Рекшинських могли быть как мелкими землевладельцами, так и крестьянами из села Рекшино.

В написании есть одна особенность: окончание -ськая — это украинская орфография, передающая мягкий звук [с']. В русском языке фамилию часто записывают как Рекшинская, без мягкого знака. Если вы встретили именно форму «Рекшинськая», это почти наверняка указывает на украинские корни семьи.