Фамилия Рилишкис звучит непривычно для русского уха, и это не случайно: её выдают суффикс и окончание. Перед нами типичная литовская фамилия, образованная по модели с суффиксом -ишк- (-išk-), который в литовской ономастике указывает на принадлежность к месту или роду. Окончание -ис (-is) — мужской падежный показатель в литовском языке, соответствующий русскому -ов или -ин. Таким образом, Рилишкис — это литуанизированная форма, которую носили или носят потомки человека по прозвищу или имени Рила, Рилис.

Корень «Рил-» может восходить к нескольким источникам. Самая вероятная версия — от литовского слова rylas, что означает «рябой» или «пестрый». Прозвище Рилис могли дать человеку с веснушками, со следами оспы или просто с пёстрой, неоднородной внешностью. Второй вариант — от старого литовского имени Rylas, которое, в свою очередь, могло быть сокращением от двусоставных имён вроде Rimgailas. Третья, менее распространённая гипотеза, связывает основу с литовским rylėti — «кричать», «орать», то есть прозвище могло относиться к шумному или громкоголосому человеку.

Географически фамилия Рилишкис почти наверняка происходит из северо-восточной Литвы, из региона Аукштайтии или Жемайтии, где такие суффиксальные фамилии особенно часты. В России и Беларуси эта фамилия встречается редко, обычно у потомков литовцев, переселившихся в XIX—XX веках. Интересно, что в русских документах фамилию могли искажать, записывая как Релишкис или даже Рилишкин, подгоняя под привычные славянские окончания.

В дореволюционной Литве фамилии на -ишкис чаще всего носили крестьяне, не имевшие герба и принадлежавшие к податным сословиям. Дворяне-литовцы предпочитали фамилии на -ский. Поэтому предки Рилишкисов, скорее всего, были свободными или зависимыми земледельцами, жившими в одном хуторе или деревне и получившими фамилию по месту жительства или по прозвищу родоначальника.