Фамилия Ростобая — редкая и неочевидная. В ней нет привычного для русского уха суффикса -ов или -ин, что сразу наводит на мысль: основа здесь не отчество, а прозвище или географическое название. Разбираем её по частям.

Первая часть, «Рост-», может отсылать к глаголу «расти» или к существительному «рост» (высота, увеличение). Вторая часть, «-обая», звучит как искажённое «обаяние» или «объять». Но это ложный след. Скорее всего, перед нами сложное прозвище, где «Рост» — это либо личное имя (в древнерусском было имя Рост, от «ростислав»), либо указание на высокий рост человека. А «-обая» — это диалектное или заимствованное слово. В украинском и белорусском есть слово «оба́я» — обаятельный, приятный, иногда — «объятие». В польском «obaj» — оба, двое. Таким образом, Ростобая могло означать «высокий и приятный», «рослый и обходительный» или даже «два роста» (то есть очень высокий).

Другая версия — топонимическая. На карте Украины есть село Ростобая (или Ростобаня) в Днепропетровской области. Если предки переселились оттуда, фамилия могла возникнуть как указание на место жительства: «из Ростобая». В таком случае суффикс -ая — это не окончание, а часть топонима, застывшая в фамилии.

Фамилия явно южнорусская или украинская по происхождению. Встречается в основном на территории бывшей Екатеринославской губернии и в Краснодарском крае — регионах, куда активно переселялись малороссы. Суффикса -ая в русских фамилиях почти не бывает (кроме редких случаев вроде «Толстая»), а в украинских он встречается чаще — как застывшая форма прилагательного.

Социальный контекст: носители фамилии, скорее всего, были казаками или крестьянами. Прозвище давалось человеку за характер или внешность — высокий, статный, приятный в общении. Никакой знати или дворянства за этой фамилией не числится, что типично для прозвищных фамилий юга России.

Если у вас фамилия Ростобая — вы, вероятно, потомок человека, которого в народе выделяли за рост и обходительность. Или же ваши предки жили в селе с таким названием. Точнее сказать без генеалогического поиска сложно, но оба варианта правдоподобны.