Фамилия Розыскова — женская форма, а мужская, Розысков, встречается редко и звучит непривычно для русского уха. Чтобы понять её происхождение, нужно отбросить окончание -а и посмотреть на основу. Перед нами типичная патронимическая модель с суффиксом -ов, но с необычным корнем. В отличие от большинства русских фамилий, образованных от крестильных имён (Иванов, Петров) или прозвищ по ремеслу (Кузнецов), основа здесь — глагол «разыскивать» или существительное «розыск». Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Розы́скова.

Самая прямая версия: фамилию дали человеку, который по долгу службы занимался розыском. В России XVI–XVII веков существовали «сыщики» и «розыскные люди» — те, кто вёл расследование преступлений, искал беглых крестьян или казённое имущество. Прозвище Розыск мог закрепиться за приставом, дьяком или подьячим, отвечавшим за сыскное дело. В говорах слово «розыск» могло означать не только официальное расследование, но и вообще тщательное выискивание, поиск потерянного — так могли назвать дотошного, въедливого человека, который всё находил.

Есть и другая, менее очевидная версия. В некоторых диалектах «розыск» или «розыска» означало разведку, разведывание. В северных и сибирских говорах так могли назвать человека, который ходил в «розыски» — то есть в разведку новых земель или промысловых угодий. Фамилия могла возникнуть в среде служилых людей, казаков или промышленников, осваивавших Урал и Сибирь. Географически Розысковы чаще всего фиксируются в центральных и южных губерниях России, что косвенно подтверждает связь с административной или полицейской службой.

Интересно, что фамилия избежала типичного для русских фамилий смягчения: мы не видим варианта «Разысков» с буквой «а» в корне, который был бы более привычен по правилам современной орфографии. Это указывает на то, что фамилия закрепилась в письменных источниках ещё до того, как норма «а» в приставке раз- стала господствующей, или же в том говоре, где произносили именно «розыск». Однокоренные фамилии — Розыскин, Разыскин, Сысков — встречаются, но Розыскова стоит особняком из-за редкой словообразовательной модели: прямое указание на действие, а не на качество или род занятий в привычной форме (сравните: Сыщиков — от лица, а Розысков — от абстрактного понятия).