Фамилия Рудшина — женская форма фамилии Рудшин, и её разговорное, недворянское происхождение выдают сразу два элемента: суффикс -ин и форма на -а. В русской ономастике фамилии на -ин в основном образуются от основ на -а/-я, и здесь основа «Рудш-» явно указывает на прозвище или имя, а не на географическое название. Но что стоит за этим корнем?

Самая прямая версия — связь с прилагательным «рудый» (рыжий, красноватый) или существительным «руда» в значении «кровь». В древнерусских говорах «руда» — это не только железная руда, но и цвет, близкий к рыжему, и даже грязь. Прозвище Рудша мог получить человек с рыжими волосами, красноватым лицом или, реже, тот, кто работал с рудой — рудокоп или плавильщик. Суффикс -ша в прозвищах встречается нечасто, он характерен для уменьшительных или пренебрежительных форм личных имён (например, Гриша от Григорий, Паша от Павел). Здесь же основа не от календарного имени, а от нарицательного слова, что делает фамилию редкой по словообразовательной модели.

Менее вероятно, но возможно, что Рудша — это искажённое имя Рудольф или Родион, адаптированное в простонародной среде. Однако такое объяснение слабее, потому что для русских фамилий от имён через суффикс -ша обычно образуются формы вроде Родионов, а не Рудшин. Географически фамилия Рудшина встречается в центральных и южных областях России, особенно в Курской и Воронежской губерниях, где слово «руда» в значении «рыжий» было в ходу, а также в местах, где добывали болотную руду.

Сословно носители фамилии относились к крестьянам или мещанам — дворянский род Рудшиных не зафиксирован в гербовниках. В XIX веке в документах эта фамилия писалась и через «о» — Рудшина, но это скорее диалектное колебание, чем отдельная ветвь. Если вы ищете свою родословную, стоит обратить внимание на переписи населения Курской губернии середины XIX века: там фамилия встречается с завидным постоянством.