Фамилия Рыкашинская — редкая, и её редкость уже даёт первую зацепку. Она образована по модели, типичной для польской и западнорусской шляхты: суффикс -ский/-ская указывает на принадлежность к месту или роду. Но основа здесь не географическая, а прозвищная, что встречается реже.

Корень — «рыкаш» или «рыкач». В русских говорах «рыкать» значило «громко кричать, реветь, издавать звериный звук». «Рыкачом» могли назвать человека с низким, громким голосом, крикливого или вспыльчивого. В некоторых диалектах «рыкать» имело оттенок «браниться, ругаться». Так что прозвище Рыкач (или Рыкаш) давали не по звериной внешности, а по голосу и нраву.

Суффикс -ин- в основе «Рыкашин» — притяжательный, указывает на сына или потомка: «чей?» — Рыкашин. То есть сначала существовало прозвище Рыкаш, от него пошла фамилия Рыкашин, а уже от неё, с добавлением шляхетского суффикса -ский, образовалась Рыкашинская. Это не типичный крестьянский вариант, а скорее фамилия однодворцев, мелкопоместной шляхты или позднего дворянства, которое «приписывало» себе фамилию по прозвищу предка, чтобы звучало «благороднее».

Географически фамилия тяготеет к бывшей Смоленской, Витебской или Могилёвской губерниям — областям, где польская модель фамилий на -ский смешивалась с русскими прозвищными основами. Встречается также вариант Рыкачевский — от той же основы, но с другим суффиксальным оформлением. Если ваш предок носил фамилию Рыкашинская, скорее всего, он происходил из среды, где ценили «голосистость» — возможно, среди его родни были дьячки, крикливые торговцы или просто люди с громким нравом, чья особенность закрепилась в родовом имени.