Фамилия Рымшонок сразу обращает на себя внимание суффиксом -онок. В русском языке он типичен для западнорусских и белорусских земель: на Смоленщине, в Витебской и Могилёвской губерниях так образовывали фамилии от прозвищ, указывая на молодость или принадлежность — буквально «сын такого-то» или «малый, похожий на…». Рымшонок, следовательно, означает «сын Рымши» или «маленький Рымша».

Корень Рымш- — редкий. Скорее всего, это усечённая форма от имени Рымша, которое могло быть прозвищным. В основе лежит либо литовское rimti («утихать, смиряться»), либо польское rym — «стих, рифма». В исторических документах встречается фамилия Рымша, известная в Великом княжестве Литовском: например, поэт XVI века Андрей Рымша. Прозвище могло закрепиться за человеком со спокойным нравом или, наоборот, за сочинителем или говорливым человеком. В белорусских говорах возможно и влияние слова «рым» — «кайма, рама», что могло указывать на плотника или мастера по окладам.

Фамилия Рымшонок — почти исключительно белорусская, с очагами в Брестской и Гродненской областях. Встречается также в пограничных районах Польши и Литвы. В России она редка и фиксируется в основном у потомков переселенцев с запада. Сословно носители, скорее всего, были крестьянами или мещанами: фамилии на -онок редко носили дворяне, которые предпочитали формы на -ский или -ович.

Таким образом, Рымшонок — типичная «младшая» фамилия из западного ареала, указывающая на предка по прозвищу Рымша. Если ваши предки носили её, их корни почти наверняка лежат на территории современной Беларуси, в среде, где смешивались восточнославянские и балтские языковые влияния.