Фамилия Сараем — редкий случай, когда мы имеем дело не с фамилией в её привычном виде, а с её формой. Скорее всего, перед нами не именительный падеж (кто? Сараем), а творительный (кем? Сараем) от фамилии Сарай. В русском языке такое окончание характерно для фамилий украинского или белорусского происхождения на -ай, -ей, -ий (например, «познакомился с Ковалём», «с Палієм»). В официальных документах XIX — начала XX века, особенно при записи со слов, эта падежная форма могла закрепиться как постоянная, особенно если носитель был малограмотен или переписчик неверно понял задание. Таким образом, основная фамилия — Сарай, а Сараем — её исторический вариант или описка.

Теперь о корне. Основа «сарай» в русских фамилиях обычно указывает не на профессию строителя сараев, а на прозвище. Сараем в крестьянской среде могли назвать человека за неуклюжесть, грузность или, наоборот, за любовь к порядку и хозяйственности (ср. «сарай» как место хранения добра). Есть и другая, более редкая версия: в южнорусских и украинских говорах «сарай» иногда означало «шалаш» или «временное жильё» — такое прозвище мог получить беглый или временный работник.

Географически фамилия Сарай и её производные (Сараев, Сараем) тяготеют к югу России и Украине. Встречается она и у потомков казачества, где прозвища по бытовым предметам и постройкам были обычным делом. Суффикса -ем в фамилии нет — это окончание, поэтому словообразовательная модель здесь простая: прозвище Сарай → фамилия Сарай (без суффикса, по украинскому типу) → падежная форма Сараем, ставшая фамилией.

Если ваша фамилия записана именно как «Сараем» (в именительном падеже), это почти наверняка результат ошибки писаря или сознательного упрощения при переезде. В таком случае ваши предки по документам могли числиться как Сарай или Сараев. Спорных версий тут нет: лингвистическая картина однозначна — перед нами застывшая форма творительного падежа от прозвищной фамилии.