Фамилия Сарочинская — это женская форма фамилии Сарочинский, а та, в свою очередь, имеет прозрачную, но неоднозначную географическую основу. В русской ономастике суффикс -ский/-цкий почти всегда указывает либо на происхождение от географического названия (села, города, реки), либо на принадлежность к определённой местности. В данном случае корень «Сароч-» ведёт нас к нескольким возможным топонимам.

Самый прямой вариант — название населённого пункта Сарочино или Сароча. Такие деревни и сёла встречаются в Беларуси и на западе России, особенно в Могилёвской и Смоленской областях. Например, деревня Сарочино есть в Шкловском районе Могилёвщины. Если предки носителя фамилии были выходцами оттуда, то прозвище «сарочинский» означало «тот, кто из Сарочина» — типичная модель для дворянских и крестьянских фамилий, оформлявшихся по месту жительства. В этом случае фамилия — «географическая», одна из самых распространённых групп в русском именослове.

Менее очевидный, но исторически интересный путь — связь со словом «сарацин» (в древнерусском произношении «сорочин» или «сарочин»). В Древней Руси «сарацинами» называли мусульман, а также иногда — всех восточных купцов. Прозвище Сарочин мог получить человек со смуглой кожей, торговавший с восточными странами или просто имевший характерный облик. Фамилии на -ский от прозвищ встречаются реже, но возможны: например, Сарочинский мог означать «сын Сарочина». Однако эта версия менее правдоподобна, так как для прозвищ типичнее суффиксы -ов/-ев или -ин.

Ещё одна гипотеза — ремесленная. В некоторых говорах «сароча» или «сороча» — это вид ткани или одежды (сорочка). Но тут связь совсем слабая, и ономасты её обычно не рассматривают всерьёз.

Сословная принадлежность фамилии Сарочинский/Сарочинская не закреплена жёстко. Фамилии на -ский в XIX веке часто носили дворяне и духовенство, но также и крестьяне, получившие фамилию по названию родной деревни. Поэтому предки могли быть как мелкими помещиками, так и крепостными крестьянами из белорусских или смоленских земель.

В написании фамилии возможна путаница: вариант «Сорочинская» (через «о») встречается не реже, и он тоже имеет право на существование — от села Сорочино. Если ваш предок писался через «а», это может быть следствием местного произношения (аканья) или сознательного выбора при оформлении документов.