Фамилия Саватникова — женская форма фамилии Саватников, и её разбор стоит начать с суффикса. Модель образования здесь классическая: основа Саватник- плюс суффикс -ов, указывающий на принадлежность («чей?» — сын Саватника). Суффикс -ов в русских фамилиях самый массовый, но в сочетании с основой на -ник он встречается реже, чем, скажем, с простыми именами. Это сразу даёт подсказку: предок носителя фамилии, скорее всего, не просто носил имя Сават, а имел прозвище Саватник.

Основа Саватник восходит к каноническому крестильному имени Савватий. В народной речи имя претерпело сокращение и переосмысление: от Савватия — Сават, а затем с помощью суффикса -ник (часто обозначающего человека по его занятию или характерному признаку) образовали прозвище Саватник. Что мог означать этот суффикс? В русской ономастике -ник нередко прикреплялся к именам для обозначения приверженца или последователя (ср. Мирон — Миронник, Фома — Фомник). Поэтому Саватник — это человек, так или иначе связанный с Савватием: возможно, тот, кто почитал этого святого, жил при церкви его имени или просто был назван в честь деда Савата.

Сам Савватий — имя греческого происхождения, от «саббатион» (суббота, покой). На Руси оно известно благодаря преподобному Савватию Соловецкому, основателю монастыря. Однако географически фамилия Саватников (и Саватникова) не привязана к Северу — она встречается в разных регионах, но заметно чаще в Поволжье и центральной России. Это наводит на мысль, что прозвище Саватник могло быть не только «именным», но и профессиональным: например, саватником могли называть мастера, делавшего саваты — грубую обувь или стельки. В некоторых говорах «сават» означало «башмак», «опорок». Тогда Саватников — сын сапожника, который шил саваты.

Ударение в фамилии, судя по произносительной норме, падает на второй слог: Сава́тникова. Это отличает её от редких вариантов с ударением на первый слог (Са́ватников), которые могли возникнуть под влиянием диалектного произношения имени Сават.

В итоге: перед нами фамилия, которая с большой вероятностью образована от прозвища Саватник, данного либо «по святому» (последователь Савватия), либо по ремеслу (сапожник, делавший саваты). Обе версии имеют под собой реальную языковую почву, но первая — через имя — более распространена в русской фамильной традиции.