Фамилия Саверкина — женская форма, а мужская, Саверкин, образована по самой частотной русской модели: от основы на твёрдый согласный плюс суффикс -ин. Если бы основа оканчивалась на -ов или -ев, мы бы получили Саверков, но здесь именно принадлежность «чей?» — Саверкин, то есть сын или потомок Саверки.

Корень здесь — неочевидный. В русских говорах и ономастике известно слово «саверка» — так в некоторых регионах называли бойкую, расторопную женщину, а иногда и просто непоседу. Но, скорее всего, основа — это не нарицательное, а личное имя или прозвище. Саверка — уменьшительная форма от канонического имени Савва (греческое «саббатос» — суббота) или от редкого имени Савер (возможно, из греческого «саврос» — ящерица или из латинского «савер» — строгий). В крестьянской среде, где полные имена почти не использовали, такие сокращения были нормой: Саверка — человек, которого в семье звали Саввой или Савером.

Есть и вторая версия, менее популярная, но имеющая право на существование: фамилия могла возникнуть от прозвища Савёрка, связанного с глаголом «саверить» — в некоторых говорах это означало «делать что-то небрежно, наспех». Однако эта гипотеза слабая: глагол редкий, а фамилия встречается в центральных и северных областях, где такое значение не фиксируется.

Географически фамилия Саверкина не частая, но стабильно встречается в Пензенской, Тамбовской и Нижегородской областях. Это указывает на то, что предки были, скорее всего, государственными или помещичьими крестьянами, а не дворянами: фамилии на -ин от прозвищ и уменьшительных имён — типично крестьянская модель, особенно в XIX веке, когда фамилии массово закреплялись за бывшими крепостными.

В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» такая модель разбирается на примере Саввин, Савкин, но Саверкин — редкий вариант, сохранивший диалектное произношение. По сути, это та же Савкина, но с местным фонетическим оттенком: «ав» перешло в «аве» под влиянием акающих говоров. Так что Саверкины — это потомки человека по имени Савва, которого в быту звали Саверкой.