Фамилия Савшин образована от имени Савша — это народная, обиходная форма крестильного имени Савва. В русской ономастике суффикс -ш- (как в Савша, Яша, Миша) указывает на уменьшительно-ласкательное или просторечное производное, часто возникавшее в бытовой речи. Таким образом, Савша — это «маленький Савва» или «Савва, которого дома звали по-свойски». Фамилия на -ин (Савшин) означает «чей?» — сын Савши, потомок человека с таким прозвищем или неофициальным именем.

Сам корень уходит к древнееврейскому имени Савва (от сабба — «старец, дед»), которое на Руси получило широкое распространение благодаря святому Савве Освященному и Савве Сторожевскому. Однако фамилия Савшин фиксируется не повсеместно, а преимущественно в центральных и северных регионах России, где было принято «укорачивать» полные имена до простых форм. В документах XVII–XVIII веков нередко встречаются крестьяне и посадские люди с именем Савша, и именно от них пошли Савшины.

Есть и другая, менее распространённая версия: в некоторых говорах «савша» могло быть прозвищем человека, который постоянно «савит», то есть суетится, хлопочет, или же, напротив, — от диалектного «савка» (птица, чибис). Но лингвисты склоняются к первой версии: подавляющее большинство фамилий на -ша/-ин в русском языке имеют антропонимическое происхождение, а не нарицательное.

С точки зрения социального состава, Савшины не принадлежали к высшим сословиям — фамилия встречается в основном среди крестьян и мещан. В писцовых книгах и ревизских сказках её носители записаны как землепашцы или ремесленники. Никаких дворянских родов с этой фамилией не известно, что подтверждает её «демократичное» происхождение от простого личного имени.

Если сравнивать с однокоренными фамилиями — Саввин, Савёлов, Савкин, — то Савшин стоит особняком: суффикс -ин при основе на -ш- встречается реже, чем -ов или -ев. Это делает фамилию более редкой и локальной. Встретить Савшина сегодня можно чаще в Поволжье и на Урале, куда переселялись крестьяне из центральных губерний в XIX веке.