Фамилия Шарбабчиев — редкий пример фамилии, в основе которой лежит не русское слово, а тюркское прозвище, переработанное особым суффиксальным способом. Разбирать её стоит с конца, потому что суффикс здесь куда информативнее корня.

Окончание -ев указывает на типичную русскую модель притяжательных фамилий (чей? — Шарбабчиев). Но основа Шарбабчи- явно нерусского происхождения. Это усечённая форма от тюркского прозвища или имени Шарбабчи, где элемент -чи — это очень распространённый в тюркских языках аффикс, обозначающий профессию или род занятий. Например, «караванбашчи» — начальник каравана, «ашчи» — повар. Соответственно, Шарбабчи — это человек, связанный с чем-то, что обозначается корнем шарбаб.

Корень шарбаб (или шарбоб) восходит к слову «шарбат» (прохладительный напиток, сироп) через арабское посредство. В тюркских языках Средней Азии, особенно в узбекском и таджикском, «шарбат» или «шарбаб» могло означать не только напиток, но и сладкое угощение, варенье, а в переносном смысле — приятное, сладкое дело. Таким образом, Шарбабчи — это «шарбатник», то есть человек, который готовит или продаёт шарбат, сладости, либо же тот, кто получил прозвище за любовь к сладкому.

География фамилии сугубо южная. Шарбабчиевы встречаются среди народов Северного Кавказа (особенно у кумыков, ногайцев), а также в среде среднеазиатских тюрков, переехавших в Россию. Фамилия могла возникнуть в XIX веке, когда русские чиновники записывали местных жителей по отчеству или по прозвищу, добавляя стандартное русское окончание. Обратите внимание, что в исходном тюркском варианте ударение падало бы на последний слог (Шарбабчи́), но в русифицированной форме оно сместилось к середине: Шарба́бчиев.

Спорных версий здесь немного. Можно было бы предположить связь с арабским именем Шариф (благородный) или с тюркским «шар» (город), но ни одна из них не объясняет суффикс -чи. Самая правдоподобная и подтверждённая словообразовательной логикой версия — профессия сластены или торговца восточными напитками. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были выходцами из ремесленной или торговой среды, а не из знати.