Фамилия Щагольчина образована от прозвища или нецерковного имени Щаголь, а тот корень, что сразу бросается в глаза — «щаголь» — на самом деле старый вариант слова «щеголь». В русских говорах чередование «е» и «а» после шипящих встречалось часто, особенно в северных и сибирских диалектах. Так что Щаголь — это тот же щёголь, то есть человек, любящий наряжаться, следивший за модой, франт. Прозвище могло быть ироничным — давали его не только за пристрастие к красивой одежде, но и за излишнюю, порой смешную заботу о внешнем виде.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Щагольчина — «дочь Щаголя» или «жена Щаголя», а в более широком смысле — потомок человека по прозвищу Щаголь. Такая модель типична для русских фамилий, образованных от прозвищ на -а/-я: Щаголь → Щаголь-ин. Ударение в фамилии падает на второй слог: Щаго́льчина, хотя в некоторых говорах могли произносить с ударением на первый.

Встречается фамилия в основном в центральных и северных областях России — в архивных записях XIX века её фиксировали в Вологодской и Костромской губерниях. Это подтверждает диалектную природу корня: именно в севернорусских говорах «щаголь» вместо «щеголь» было нормой. Интересно, что однокоренные фамилии Щеголев, Щеглов встречаются гораздо чаще, а Щагольчин — вариант более редкий, локальный, сохранивший архаичное произношение.

Споров по происхождению почти нет. Единственная альтернативная версия — связь с забытым словом «щаголь» в значении «птица щегол» (тоже диалектное), но она менее вероятна: прозвище по птице обычно давали за внешнее сходство или повадки, а прямое значение «франт» для человека куда естественнее. Так что предки носителя фамилии, скорее всего, были людьми заметными, не чуждыми щегольства, или же получили прозвище в насмешку — и это прозвище закрепилось в роду на века.