Фамилия Щельженко — украинская по модели образования, на что указывает суффикс -енко, который в XVI–XVII веках был характерен для Поднепровья и означал «сын» или «потомок» (сравните с русским -ович). Основа фамилии — Щельж-, и вот здесь начинается главная загадка.

Самое прямое объяснение — от прозвища Щельга, которое в южнорусских и украинских говорах имело два значения. Первое: «щельга» — это щепка, лучина, иногда так называли худого или щуплого человека. Второе, более редкое: «щельга» — это мелкая рыба (например, уклейка или верховка), а в переносном смысле — несерьёзный, вертлявый человек. Тогда Щельженко — потомок человека с таким прозвищем. Фонетически переход «г» в «ж» (Щельга → Щельжа → Щельженко) объясняется смягчением перед суффиксом, что для украинской ономастики нормально.

Есть и вторая версия, менее вероятная, но упоминаемая в региональных словарях. В некоторых говорах Курской и Воронежской областей слово «щельга» означало нечто искривлённое, кривое — например, кривой сук или изогнутый нож. В этом случае прозвище могло относиться к человеку с физическим изъяном (кривому или сутулому). Однако подтверждений этой версии в серьёзных ономастических источниках мало, и первая — с худобой или мелкой рыбой — выглядит убедительнее.

Географически фамилия Щельженко редкая, её ядро — восточная Украина (Сумская, Полтавская области) и приграничные районы России (Белгородчина). Носителей мало, в современных телефонных справочниках и базах данных фамилия встречается единично. Сословно, скорее всего, предки были казаками или крестьянами: украинские фамилии на -енко в массе своей недворянские, они фиксировали принадлежность к роду, а не к титулу.

Однокоренных фамилий практически нет — ни Щельгин, ни Щельгов. Это дополнительно указывает на узко-региональное происхождение, возможно, от прозвища, которое бытовало в одной-двух волостях. Если у вас есть семейное предание, связывающее фамилию с ремеслом или местностью, оно может прояснить, какое из значений «щельги» было актуально для ваших предков.