Фамилия Щемур — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Чтобы понять её корни, стоит начать не с основы, а с суффикса. В фамилии нет типичного русского патронимического суффикса -ов/-ев или -ин. Окончание -ур характерно для тюркских языков и для некоторых западнославянских говоров. Это сразу подсказывает, что фамилия могла сложиться не в центральной России, а на южных или восточных окраинах, в зоне контакта с тюркским населением.

Сама основа «щем-» (или «щемур» целиком) не имеет прямого значения в русском литературном языке. Самое правдоподобное объяснение лежит в тюркских языках. В чувашском, татарском, башкирском есть корень «щем» или «шем», который означает «жир», «сало», «тук». Соответственно, «щемур» могло быть прозвищем человека плотного, упитанного, или же того, кто торговал салом, скотом. В тюркских языках такие прозвища по внешности или роду занятий были обычным делом, и они легко переходили в фамилии при русификации.

Есть и вторая, менее вероятная версия. В некоторых говорах русского языка «щемить» означает «сжимать», «давить». Но «щемур» в таком контексте не образует устойчивого прозвища. Скорее всего, это народная этимология, возникшая уже после того, как фамилия закрепилась. Более надёжным остаётся тюркский след.

Географически фамилия Щемур встречается в основном в Поволжье и на Урале — в Чувашии, Татарстане, Башкортостане, а также в Оренбургской области. Это как раз те регионы, где столетиями жили рядом русские и тюркские народы, и фамилии часто возникали на стыке языков. Если ваши предки носили эту фамилию, можно с большой уверенностью предположить, что они происходят из крестьян или мещан, живших в зоне активного межэтнического общения, и прозвище Щемур дали либо по внешности, либо по ремеслу.