Фамилия Щюрик — редкая и неочевидная. Чтобы понять её происхождение, придётся разбираться не с корнем, а с суффиксом и написанием. Самая вероятная версия: это украинская или белорусская фамилия, образованная от прозвища Щур. Суффикс -ик в восточнославянских фамилиях (Щурик, Щуриков) указывает на «маленького» или «младшего»: сын Щура, потомок человека с таким прозвищем. Но здесь написание через «ю» — Щюрик — меняет всё.

Буква «ю» после «щ» нетипична для русского языка: по правилам после шипящих пишут «у» (щука, Щурик). Сочетание «щю» — явный признак западного влияния. В украинском и белорусском языках после «щ» возможна «ю» (укр. щюка, а не щука, как в русском). Значит, фамилия Щюрик могла закрепиться в письменности именно в тех регионах, где фонетика допускала такое произношение — например, на западе Украины, в Беларуси или в пограничных с Польшей землях. Там же суффикс -ик встречается чаще, чем в Великороссии.

Что касается основы — Щур. Это древнерусское слово, которое означало птицу (водяной воробей, оляпка) или, по некоторым версиям, мышь-землеройку. В прозвищах «Щур» часто давали человеку юркому, вертлявому, неспокойному — по повадкам птицы или зверька. В говорах «щурить» значило «щуриться, прищуривать глаза», так что прозвище могло относиться к человеку с узким разрезом глаз или к тому, кто постоянно щурился от солнца или близорукости.

Менее вероятная версия — связь с тюркским «чур» или «шур» (соль, солончак), но для фамилии с суффиксом -ик это маловероятно: тюркские прозвища обычно давали основу без уменьшительных суффиксов.

Встречаемость фамилии ничтожно мала. В базах данных и телефонных справочниках Щюрик — единичные случаи, в основном на Украине. В России фамилия почти не фиксируется, что подтверждает её западнорусское или украинское происхождение. Носители, скорее всего, происходят из одной локальной группы, где прозвище Щур передалось по мужской линии и закрепилось в необычном написании.

Таким образом, Щюрик — это «сын Щура», записанный по правилам украинской или белорусской орфографии. Предок носителя был либо юрким, подвижным человеком, либо щурился на свет, либо держал птиц. Точнее сказать трудно: слишком мало данных и носителей.