Фамилия Шерминская — это женская форма фамилии Шерминский, и её происхождение, скорее всего, связано с географическим названием. Основа «Шермин-» встречается в топонимах: например, существует село Шермино в Пермском крае или деревня Шерминка в Татарстане. Человек, переехавший из такого места, получал прозвище или фамилию Шерминский, а его жена или дочь — Шерминская. Суффикс «-ский/-ская» в русских фамилиях традиционно указывал на принадлежность к местности или дворянскому роду, но в крестьянской среде он тоже был распространён, особенно на западе и юге России, где фамилии на «-ский» давали по названию деревни.

Менее вероятна, но возможна версия от прозвища «Шерма» — так в некоторых говорах называли человека с грубой, «шершавой» внешностью или характером, от слова «шершавый» или «шероховатый». Однако в этом случае фамилия скорее имела бы форму Шермин или Шермов, а не Шерминский. Суффикс «-ин-» в основе может указывать на принадлежность к кому-то: «Шерма» → «Шермин сын» → Шермин, а затем уже Шерминский, но цепочка получается длинной. Поэтому топонимическая версия выглядит убедительнее.

Фамилия редкая, в основном встречается в Поволжье и на Урале. Если ваши предки носили её, скорее всего, они были крестьянами или мещанами из небольшого села, название которого со временем могло исчезнуть с карты. Дворянских родов Шерминских в исторических списках не значится — это фамилия народная, образованная по простому и понятному принципу: от места, где жили.