Фамилия Шидамида — настолько редкая, что её носители в России, скорее всего, умещаются в несколько семей, а то и в одну. Она не встречается в массовых справочниках русских фамилий, и её происхождение лежит за пределами славянской ономастики. Строение фамилии нехарактерно для русского языка: окончание -а при отсутствии типичных суффиксов (-ов, -ин, -ский) сразу выдаёт иноязычную основу.

С высокой вероятностью Шидамида — это фамилия грузинского или, шире, кавказского происхождения. В грузинском языке фамилии на -дзе (сын), -швили (дитя), -иа, -ава, -ури распространены повсеместно. Окончание -ида встречается реже, но известно: например, фамилия Чхеидзе или Джапаридзе. В данном случае «Шидамида» может быть русифицированной записью грузинской фамилии, которая в оригинале звучала бы как Шидамидзе или Шидамадзе. Первая часть — «Шида» — в грузинском языке означает «внутренний», «середина» (например, Шида Картли — Внутренняя Картли). Таким образом, корень мог указывать на географическое происхождение предка из внутренних областей Грузии или на прозвище человека, жившего «внутри», «в центре» чего-либо.

Вторая, более простая версия — фамилия могла образоваться от имени или прозвища Шидам, к которому добавили фамильный формант. В тюркских или иранских языках корень «шид» может означать «свет», «сияние» (ср. персидское «шид» — свет), но для уверенного утверждения данных слишком мало.

Если вы носите эту фамилию, скорее всего, ваши предки — выходцы с Кавказа, вероятно, из Грузии, и фамилия закрепилась в русской среде в усечённом виде, без грузинского суффикса -дзе. Из-за редкости фамилии никаких публичных сведений о сословной принадлежности или известных исторических носителях нет — это семейная история, которую можно восстановить только по архивным записям.